Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Étape 2.2.1.3

Additionnez $- t$ et $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - e^{t}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Étape 5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{t}$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (e^{t})$ .

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Étape 9

Multipliez $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 10.1

Associez $e^{- t}$ et $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.2

Multipliez $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{1}{1 + e^{t}}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.3

Multipliez $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + e^{t}}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.3.3

Associez $\frac{1}{1 + e^{t}}$ et $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Étape 10.4

Multipliez $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 10.4.2

Multipliez $\frac{1}{1 + e^{t}}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 10.4.3

Associez $\frac{1}{1 + e^{t}}$ et $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$